Реферат на тему: Особенность математической абстракции

Введение

При изучении математики, как и любой другой науки, исследователь прежде всего сталкивается с вопросом о реальном содержании ее понятий и теорий. Чтобы понять, что соответствует математическому знанию в реальном мире, или, иначе говоря, каков тот специфический объект, который служит предметом исследования математики, надо понять, какую сторону действительности отображает математика, как совершается процесс абстрагирования в этой науке и чем он отличается от абстрагирования в естествознании и других опытных науках.

Что же такое абстракция?

В самом широком смысле слова абстракция означает возможность рассмотрения предметов и процессов с какой-либо одной точки зрения и отвлечения от других сторон, моментов и обстоятельств. В окружающем мире все предметы и явления находятся в различных взаимосвязях и отношениях друг с другом. Одни из них имеют существенный, устойчивый характер, другие - несущественный, случайный. Чтобы понять сущность явлений объективного мира, законы, которые управляют ими, необходимо отделить существенные связи от несущественных, отвлечься от второстепенных обстоятельств, в чем и состоит процесс абстрагирования.

Отвлечение тех или иных свойств вещей и наделение вещей свойствами, которые в определенной степени огрубляют их природные свойства, дает возможность лучше изучить эти свойства и отношения, а через них и сами вещи. Так, например, замена реальных тел в механике абсолютными твердыми телами, а в иных случаях даже материальными точками помогает глубже изучить процессы, связанные с механическим движением. Точно так же рассмотрение количественных отношений и пространственных форм обособленно от качественной природы предметов является весьма плодотворным приемом, с помощью которого математике удается глубоко проникнуть в сущность количественных и пространственных отношений действительности.

В эмпирической теории абстракции, свойства, которые являются общими для различных вещей, обнаруживаются в процессе созерцания. Они имеют опытный эмпирический характер. Соответственно этому предикаты, которые их выражают, называются эмпирическими. Более сложный характер носят так называемые диспозиционные предикаты, в которых отображается эмпирическое в определенных условиях его проявления. Такие свойства, как "быть проводником тока", "разлагаться на составные элементы" и т. п., проявляются лишь при наличии определенных условий. И в реальных ситуациях обычно такие условия точно фиксируются. По существу уже свойства, выражаемые с помощью эмпирических предикатов, всегда предполагают наличие определенных условий. Такое свойство тела, как теплопроводность, проявляется лишь при определенном взаимодействии с другими телами. Но от этого в повседневной практике отвлекаются и рассматривают его изолированно, как свойство данного тела. Наконец, абстрактные предикаты отображают более существенные и глубокие свойства, чем диспозиционные и эмпирические. Именно с такими предикатами и имеет дело математика. Часто такой предикат рассматривают как некоторый самостоятельный объект. Чтобы отличить его от реальных объектов, его называют абстрактным объектом. Понятно, что такие объекты или свойства нельзя воспринимать чувственно, но они приписываются вещам на основании определенных теоретических допущений.

В результате процесса абстракции возникают понятия, категории, законы, в которых как раз и отображаются существенные стороны реальной действительности. Являясь отвлечениями от определенных сторон вещей и явлений, научные абстракции воспроизводят действительность в обобщенном виде. Ясно, что отражая реальный мир абстракция воспроизводит его не непосредственно, а опосредованно чувственным познанием. Но на этом процесс познания не заканчивается, наоборот, абстракции служат лишь исходным пунктом для дальнейшего процесса восхождения от абстрактного знания к конкретному.

Рассмотрим те особенности, которые характерны для процесса абстрагирования в математике.

Оглавление

- Введение. 3

- Особенность математической абстракции

- Абстракция актуальной бесконечности

- Абстракция потенциальной бесконечности

- Заключение. 22

- Список литературы. 24

Заключение

История развития науки показывает, что теоретическое познание начинается с возникновения отдельных абстракций, затем происходит их объединение, или синтез, в рамках научных систем и теорий.

По мере углубления знаний о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира возрастает и абстрактность самой математики и соответственно этому все более отдаленной и опосредованной становится связь ее отдельных понятий с действительностью.

Математика, как и всякая другая наука, представляет собой не конгломерат различных понятий, суждений и законов, а единую, цельную систему научных знаний, в которой одни понятия и суждения зависят от других. Пожалуй, ни в одной другой науке эти связи и отношения между понятиями, суждениями и даже отдельными теориями нельзя выявить так четко и определенно, как в математике.

Подобно тому как вопрос об отношении мышления к бытию является основным для философии, вопрос об отношении математического знания к реальной действительности является основным философским вопросом для математики. И одно из главных мест в понимании отношения математических теорий к реальности занимает понятие абстракции. Ведь именно на ней, в определенном смысле, строятся все математические теории и выводы.

И подобно же тому как решение вопроса отношения математического знания к реальной действительности определяет два направления в философии: материализм, рассматривающий понятия математики как отражение определенных свойств и отношений внешнего мира, и идеализм, считающий эти понятия либо чистыми созданиями мысли, либо условными соглашениями, либо доопытными, априорными идеями, словом, для идеалистов математические понятия - нечто первичное, а материальный мир - вторичное. Так и различные взгляды на абстракции различных идей, например, бесконечности, осуществимости и т. д., порождают различные школы философии.

Список литературы

[1] Рузавин Г.И. О природе математического знания. (Очерки по методологии математики). М., 1968, 302 с.

[2] Киселева Н.А. Математика и действительность. М., 1967.

[3] Лукьянец В.С. Философские основания математического познания. Киев, 1980.

[4] Яновская С.А. Методологические проблемы математики. М., 1972, 280 с.

[5] Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983, 302с.